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彩券背後的數學秘密是什麼?

不看不知道,一看真奇妙

彩券背後的數學秘密是什麼?

Postby admin » Fri Jul 24, 2020 4:32 pm

https://buzzorange.com/techorange/2020/ ... otto-math/
有一種獎金普遍很高的遊戲稱為「樂透」,利用抽籤搖彩的不確定性,販售發財美夢給參與遊戲的人們。樂於此道的人不在少數,不過對於數學稍有感覺的人應該多是不為所動,或者至少像我一樣,偶一為之當作趣味。樂透的起源我不清楚,據說在中國元朝時期的一些寺廟就曾舉辦類似活動,目前全世界許多國家都有發行。

數日前我受邀前往中部一所國中演講,車程大約二三十分鐘,坐在前來接送的小黃哥汽車副駕,我得找些話題才不至於尷尬,我問他「你聽過有人專門開公司買樂透嗎?」,這是我演講內容的一部分,一邊開車一邊喝著珍奶的小黃哥一邊露出了「咁有可能」的表情。

你,覺得有可能嗎?

有!

一起 2005-2010 年間發生在美國麻州的樂透事件,一票人輕鬆賺走了大約 800 萬美金,從數學教授艾倫伯格撰寫(李國偉研究員翻譯)的《數學教你不犯錯》一書讀到這則勵志感人、溫馨發大財的故事的當下,除了不得不佩服這群腦筋動得快的聰明人,忍不住也在心裡吶喊人家也好想要中樂透啊~ 啊~ 啊~


這本書涵蓋數學主題廣泛,深入淺出,非常推薦作為數學科普閱讀。
讓我們先暫時冷靜一下,身為一位資深的數學宅,我推一下鏡框趕緊切換到數學模式用理性來分析這次事件。首先的疑問是,我們該用什麼數學進行分析呢?

用什麼數學看樂透?在不確定之中我們能確定的事—就決定派出你了:「機率」

根據我的經驗,機率應該是不二人選,這是一種專門用來處理類似樂透這種具有不確定性的數學工具,在台灣彩券公司發行的大樂透簽注單底下,也清楚地印著《本遊戲頭獎中獎機率理論值為一千三百九十八萬分之一,請勿過度投注》的警語。

究竟,頭獎中獎機率理論值為一千三百九十八萬分之一代表何意,是一個人玩了一千三百九十八萬次之後保證會中頭獎,還是一千三百九十八萬張投注單保證中頭獎呢?

其實都不是!

頭獎機率一千三百九十八萬分之一指的是經過足夠多次開獎後每一組號碼出現頻率的最佳估計值,前提是足夠多次,而足夠多次在不同的事件當中所需要的次數也不同,打個比方,就像有人吃一個便當就飽,有人要吃八個便當才夠的道理一樣。投擲一枚公正的硬幣出現人頭的機率二分之一,指的是投擲足夠多次後人頭出現的頻率約佔全部的二分之一,足夠多可能只要幾千或者甚至幾百就能夠觀察出來,而中樂透頭獎的足夠多次可能就得進行高達以億兆萬計的等級。

影響人們要不要下注的決定因素除了機率大小,還有報酬高低。數學所說的:

期望值=(機率 X 報酬)的總和
綜合了這兩項要素。期望值代表的是經過足夠多次開獎後,每一次開獎每一組號碼預期報酬的平均值的最佳估計。

聽起來很複雜… 其實是「買越多賠越多」?

簡單說,如果只有頭獎一億跟沒中獎兩種情況,一張彩券中獎的期望值等於一億乘以一千三百九十八萬分之一,大約是 7 塊多,扣掉購買彩券的成本 50 元(也可視為沒中獎的期望值)之後,每張彩券的期望值是 -42 元左右,也就是長期下來買彩券的情況下,每一張彩券平均要付出的代價是 42 元。

一般來說,彩券都是處於負期望值的狀態,根據期望值理論,大致上可以說買一張平均賠 y 元買兩張賠 2y 元…依此類推,幾乎可以篤定的一點是你買越多就賠得越多。因此,我作為一位理性代言人(自以為)很少出手買樂透,只有在獎金累積夠高期望值變成正的,才有可能下手小試運氣兼做公益。

你心裡或許會疑問,期望值是正的,比如說 10 元,理論上買兩張賺 20,買 10 張就賺 100,買越多賺越多,我應該賺到翻了怎麼還有空坐在電腦前面發文。

這裡要再次提醒讀者留意,期望值和機率的運作概念仰賴大數法則,數量足夠多的情況下比較有參考價值。

比方說把鏡頭拉回到前一期魏澤人教授撰寫的《TED 青蛙謎題的解答錯了 》,如果你選擇往前去舔那隻青蛙,恰好是母蛙可以解你身體的毒的機率 1/2 的話,正常劇本下的結局還是只有兩種:[你死了] 或者 [你活了]。

不會有什麼死了一半這種結果,當然你也不會變成薛丁格的貓那樣處於半死不活的死跟活的疊加態裡面。

當年的麻州樂透,是如何被大學生破解的?

話說回麻州樂透被破解一事,麻州樂透大抵遊戲規則跟一般熟知的樂透沒兩樣,只有一項特殊規則是當頭獎獎金累積超過 200 萬美元時,該期只要 6 個號碼中了 5 碼以上就能參與分享頭獎獎金,全部共有 46 個號碼的情況下,中頭獎機率從原本的 1/C(46,6)四十六取六分之一,變成 241/C(46,6)四十六取六分之兩百四十一,提高了 241 倍,中頭獎機率一口氣從大約一千萬分之一提高到四萬分之一,等於每張售價 2 美元彩券的期望值高達將近 50 美元。


How MIT Students Won 8 Million in Massachusetts Lottery / From New York Times
MIT 一群學生看準這一點,在事件發生的六年期間內,只要遇到獎金累積超過兩百萬的日子,就翹課翹班集資瘋狂的購買彩券,後來甚至成立公司聘工讀生專門去各投注站下注。根據《紐約時報》2012 年的報導,這群來自 MIT 的學生們在六年期間內共賺走了八百萬美金,相當於台幣兩億四千多萬元。

這種利用數學破解賭局來獲利的案例,對於 MIT 來說倒也不是第一次發生,之前電影《決勝 21 點》就是改編自 MIT 21 點團隊攻克各大賭場的真人真事。

有意思的是紐約時報將這條新聞歸類在犯罪新聞底下(Crime News),故事的結局卻沒有人因為詐欺罪被抓去關,原因是調查發現樂透公司早就注意到他們的行為卻沒有舉發,因此算不上利用他人無知詐取錢財,也就沒有詐欺事實。

至於為什麼樂透公司發現了卻不報警處理?啊哈!憑藉抽取手續費賺錢的樂透公司又有甚麼理由要禁止他們贏走本來就不屬於樂透公司的錢呢?
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